روش های تشکیل فراکتال

در دهه های 1980 و 90 فراکتال ها یک ایده محبوب و خانگی بود. حضور آنها در فرهنگ عامه ممکن است در 20 سال گذشته کمرنگ شده باشد، اما حضور آنها در طبیعت، اقتصاد و تقریباً هر چیزی که در اطراف ما وجود دارد کمرنگ شده است. در این بخش، برخی از ایده‌ها و اصطلاحات اساسی را معرفی می‌کنیم که به شما کمک می‌کند تا اصول ریاضی را که فراکتال‌ها را تعریف می‌کنند، درک کنید.

مبانی فراکتال

فراکتال ها مجموعه های ریاضی هستند که معمولاً از طریق بازگشت به دست می آیند و ویژگی های ابعادی جالبی از خود نشان می دهند. معنی آن جمله را در ادامه فصل بررسی خواهیم کرد. در حال حاضر، می‌توانیم با ایده خود شباهت، که مشخصه اکثر فراکتال‌ها است، شروع کنیم.

خود شباهت

یک شکل زمانی شبیه به خود است که اساساً از فاصله دور شبیه به نظر می رسد که از نزدیک تر است.

خود شباهت را اغلب می توان در طبیعت یافت. در کلم بروکلی رومانسکو که در تصویر زیر [1] نشان داده شده است، اگر بخشی از تصویر را بزرگنمایی کنیم، قطعه باقی مانده شبیه به کل به نظر می رسد.

به همین ترتیب، در شاخه سرخس زیر [2]، یک تکه از شاخه شبیه به کل به نظر می رسد.

به طور مشابه، اگر روی خط ساحلی پرتغال بزرگنمایی کنیم [3]، هر بزرگنمایی جزئیات پنهان قبلی را نشان می دهد، و خط ساحلی، در حالی که با منظره دورتر یکسان نیست، ویژگی های مشابهی را نشان می دهد.

فراکتال های تکراری

این رفتار خود مشابه را می توان از طریق بازگشت تکرار کرد: تکرار یک فرآیند بارها و بارها.

مثال

فرض کنید با یک مثلث پر شده شروع می کنیم. وسط هر ضلع را به هم وصل می کنیم و مثلث وسط را حذف می کنیم. سپس این روند را تکرار می کنیم.

اگر این روند را تکرار کنیم، شکلی که ظاهر می شود واشر سیرپینسکی نامیده می شود. توجه داشته باشید که شباهت خود را نشان می دهد - هر قطعه از واشر با کل یکسان به نظر می رسد. در واقع می توان گفت که واشر Sierpinski شامل سه نسخه از خود است که هر کدام به اندازه نسخه اصلی بلند و پهن هستند. البته هر کدام از آن نسخه ها شامل سه نسخه از خود نیز می باشد.

در ویدیوی زیر، توضیح دیگری در مورد نحوه تولید واشر Sierpinski با استفاده از ایده خود شباهت ارائه می دهیم.

ما می‌توانیم فرکتال‌های دیگری را با استفاده از رویکرد مشابه بسازیم. برای رسمیت بخشیدن به این موضوع، قصد داریم ایده آغازگر و مولد را معرفی کنیم.

آغازگر و مولد

آغازگر یک شکل شروع است

یک مولد مجموعه ای مرتب شده از کپی های مقیاس شده از آغازگر است

برای تولید فراکتال ها از آغازگرها و مولدها، از یک قانون ساده پیروی می کنیم:

قانون تولید فراکتال

در هر مرحله، هر کپی از آغازگر را با یک کپی کوچک شده از ژنراتور جایگزین کنید و در صورت لزوم بچرخانید.

درک این فرآیند از طریق مثال ساده تر است.

مثال

از آغازگر و مولد نشان داده شده برای ایجاد فراکتال تکرار شده استفاده کنید.

این به ما می‌گوید که در هر مرحله، هر بخش خط را با شکل مشخص شده در ژنراتور جایگزین کنیم. توجه داشته باشید که خود ژنراتور از 4 کپی از آغازگر تشکیل شده است. در مرحله 1، بخش تک خط در آغازگر با ژنراتور جایگزین می شود. برای مرحله 2، هر یک از چهار بخش خط مرحله 1 با یک کپی مقیاس شده از ژنراتور جایگزین می شود:

این فرآیند برای تشکیل مرحله 3 تکرار می شود. دوباره، هر بخش خط با یک کپی مقیاس شده از ژنراتور جایگزین می شود.

توجه داشته باشید که از آنجایی که مرحله 0 فقط 1 بخش خط داشت، مرحله 1 فقط به یک کپی از مرحله 0 نیاز داشت.

از آنجایی که مرحله 1 دارای 4 قطعه خط بود، مرحله 2 به 4 کپی از ژنراتور نیاز داشت.

سپس مرحله 2 دارای 16 قطعه خط بود، بنابراین مرحله 3 به 16 نسخه از ژنراتور نیاز داشت.

مرحله 4 ، به [لاتکس] 16 \ cdot4 = 64 [/لاتکس] از ژنراتور نیاز دارد.

شکل ناشی از تکرار این فرآیند ، منحنی Koch نام دارد که برای Helge von Koch نامگذاری شده است که برای اولین بار در سال 1904 آن را کاوش کرد.

توجه کنید که واشر Sierpinski نیز می تواند با استفاده از رویکرد آغازگر-ژنراتور توصیف شود.

مثال

از آغازگر و ژنراتور زیر استفاده کنید ، اما فقط در "شاخه ها" تکرار می شود. چندین مرحله از تکرار را ترسیم کنید.

ما با جایگزین کردن آغازگر با ژنراتور شروع می کنیم. سپس هر "شاخه" مرحله 1 را با یک کپی مقیاس یافته از ژنراتور جایگزین می کنیم تا مرحله 2 ایجاد شود.

مرحله 1 ، ژنراتور. مرحله 2 ، یک تکرار ژنراتور.

ما می توانیم این روند را تکرار کنیم تا مراحل بعدی ایجاد شود. تکرار این فرآیند می تواند اشکال درختی پیچیده ایجاد کند.[4]

امتحانش کن

از آغازگر و ژنراتور نشان داده شده برای تولید دو مرحله بعدی استفاده کنید.

استفاده از فرآیندهای تکرار مانند موارد فوق می تواند انواع مختلفی از تصاویر زیبا را برانگیخته از طبیعت ایجاد کند.[5] [6]

با افزودن تصادفی به مراحل می توان اشکال طبیعی تری ایجاد کرد.

مثال

هر بار که یک تکرار انجام شود ، در واشر Sierpinski تغییر ایجاد کنید.

فرض کنید ما با مثلث زیر شروع می کنیم. ما مانند گذشته با از بین بردن مثلث میانی شروع می کنیم. سپس به برخی از تصادفی اضافه می کنیم.

سپس این روند را تکرار می کنیم.

ادامه این فرآیند می تواند سازه های کوه مانند ایجاد کند. این منظره [7] با استفاده از فراکتال ها ، سپس رنگی و بافت ایجاد شده است.

فیلم زیر نمای دیگری از شاخه های شاخه ای و تصادفی را ارائه می دهد.

بعد فراکتال

علاوه بر شفاب بودن بصری ، فراکتال ها ویژگی های جالب دیگری را نیز به نمایش می گذارند. به عنوان مثال ، توجه کنید که هر مرحله از تکرار واشر Sierpinski یک چهارم از منطقه باقی مانده را از بین می برد. اگر این روند به طور نامحدود ادامه یابد ، ما اساساً تمام منطقه را از بین می بریم ، به این معنی که ما با یک منطقه 2 بعدی شروع کردیم و به نوعی با چیزی کمتر از آن خاتمه می دهیم ، اما به ظاهر بیشتر از یک خط 1 بعدی.

برای کشف این ایده ، باید در مورد بعد بحث کنیم. چیزی مانند یک خط 1 بعدی است. فقط طول دارد. هر منحنی 1 بعدی است. مواردی مانند جعبه ها و دایره ها 2 بعدی هستند ، زیرا دارای طول و عرض هستند و یک منطقه را توصیف می کنند. اشیاء مانند جعبه ها و سیلندرها دارای طول ، عرض و قد هستند و یک حجم را توصیف می کنند و 3 بعدی هستند.

برخی از قوانین برای مقیاس بندی اشیاء ، مربوط به بعد آنها اعمال می شود.

اگر من یک خط با طول 1 داشتم و می خواستم طول آن را به 2 برسانم ، به دو نسخه از خط اصلی نیاز دارم. اگر من یک خط طول 1 داشتم و می خواستم طول آن را به 3 تقسیم کنم ، به سه نسخه اصلی نیاز دارم.

اگر مستطیل با طول 2 و ارتفاع 1 داشتم و می خواستم طول و عرض آن را با 2 مقیاس کنم ، به چهار نسخه مستطیل اصلی نیاز دارم. اگر می خواستم طول و عرض 3 را مقیاس کنم ، به نه نسخه مستطیل اصلی نیاز دارم.

اگر یک جعبه مکعب با طرفین طول 1 داشتم و می خواستم طول و عرض آن را با 2 مقیاس کنم ، به هشت نسخه از مکعب اصلی نیاز دارم. اگر می خواستم طول و عرض را با 3 مقیاس کنم ، به 27 نسخه از مکعب اصلی نیاز دارم.

توجه کنید که در مورد 1 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس.

در مورد 2 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس [لاتکس]^[/لاتکس].

در مورد 3 بعدی ، نسخه های مورد نیاز = مقیاس [لاتکس]^[/لاتکس].

از این مثالها ، ممکن است الگویی را استنباط کنیم.

رابطه مقیاس مقیاس

برای مقیاس یک شکل d بعدی توسط یک عامل مقیاس پذیر ، تعداد نسخه های C از شکل اصلی مورد نیاز توسط:

مثال

برای تعیین ابعاد واشر Sierpinski از رابطه scaling-dimension استفاده کنید.

فرض کنید واشر اصلی را به طول ضلع 1 تعریف می کنیم. واشر بزرگتر نشان داده شده دو برابر عرض و دو برابر بلندتر است، بنابراین با ضریب 2 مقیاس شده است.

توجه داشته باشید که برای ساخت واشر بزرگتر، 3 کپی از واشر اصلی نیاز است.

با استفاده از رابطه مقیاس-بعد [latex]C=S^[/latex]، معادله [latex]3=2^[/latex] را بدست می آوریم.

از آنجایی که [latex]2^=2[/latex] و [latex]2^=4[/latex]، بلافاصله می‌توانیم ببینیم که D چیزی بین 1 و 2 است. واشر بیش از یک شکل یک بعدی است، اما ما مساحت زیادی را برداشته ایم که اکنون کمتر از دو بعدی است.

حل معادله [latex]3=2^[/latex] به لگاریتم نیاز دارد. اگر قبلاً لگاریتم ها را مطالعه کرده اید، ممکن است به یاد بیاورید که چگونه این معادله را حل کنید (اگر نه، فقط به کادر زیر بروید و از آن فرمول با کلید log در ماشین حساب استفاده کنید):

لگاریتم هر دو طرف را بگیرید.

از ویژگی توانی لاگ ها استفاده کنید.

ابعاد واشر حدود 1. 585 است.

رابطه مقیاس-بعد، برای یافتن بعد

برای یافتن بعد D یک فراکتال، ضریب مقیاس بندی S و تعداد کپی های C از شکل اصلی مورد نیاز را تعیین کنید، سپس از فرمول استفاده کنید.

امتحانش کن

بعد فراکتالی فرکتال تولید شده را با استفاده از آغازگر و مولد تعیین کنید.

مقیاس گذاری فراکتال با ضریب 3 نیاز به 5 کپی از نسخه اصلی دارد.

در ویدیوی زیر یک نمونه کار شده از نحوه تعیین ابعاد واشر سیرپینسکی را ارائه می دهیم